Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Paso 2

Factoriza $3$ de $3 y + 9$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$\sqrt{3 (y) + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sqrt{3 y + 3 \cdot 3} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $3$ de $3 y + 3 \cdot 3$ .

$\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{3 (y + 3)}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $\sqrt{y + 16}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3 (y + 3)} - 1 = \sqrt{y + 16}$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3 (y + 3)} = \sqrt{y + 16} + 1$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 (y + 3)}}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (y + 3)}$ como ${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 (y + 3))}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y + 3 \cdot 3)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica.

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $3$ .

${(3 y + 9)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Simplifica.

$3 y + 9 = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ como $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ .

$3 y + 9 = (\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} (\sqrt{y + 16} + 1) + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$ .

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Paso 5.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{y + 16}$ a la potencia de $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{y + 16}$ a la potencia de $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} {\sqrt{y + 16}}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1 + 1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{y + 16}}^{2}$ como $y + 16$ .

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Paso 5.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 16}$ como ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y + 9 = {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{y + 16}$ por $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{y + 16}$ por $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1$

Paso 5.3.1.3.2

Suma $16$ y $1$ .

$3 y + 9 = y + 17 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16}$

Paso 5.3.1.3.3

Suma $\sqrt{y + 16}$ y $\sqrt{y + 16}$ .

$3 y + 9 = y + 17 + 2 \sqrt{y + 16}$

Paso 6

Resuelve $2 \sqrt{y + 16}$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$ .

$y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{y + 16}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y$

Paso 6.2.2

Resta $17$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y - 17$

Paso 6.2.3

Resta $y$ de $3 y$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y + 9 - 17$

Paso 6.2.4

Resta $17$ de $9$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y - 8$

Paso 7

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{y + 16})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 16}$ como ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Simplifica ${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(y + 16)}^{1} = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Simplifica.

$4 (y + 16) = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 4 \cdot 16 = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $4$ por $16$ .

$4 y + 64 = {(2 y - 8)}^{2}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica ${(2 y - 8)}^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${(2 y - 8)}^{2}$ como $(2 y - 8) (2 y - 8)$ .

$4 y + 64 = (2 y - 8) (2 y - 8)$

Paso 8.3.1.2

Expande $(2 y - 8) (2 y - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 64 = 2 y (2 y - 8) - 8 (2 y - 8)$

Paso 8.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y - 8)$

Paso 8.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Paso 8.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Paso 8.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Paso 8.3.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Paso 8.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Paso 8.3.1.3.1.4

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Paso 8.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y - 8 \cdot - 8$

Paso 8.3.1.3.1.6

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y + 64$

Paso 8.3.1.3.2

Resta $16 y$ de $- 16 y$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 32 y + 64$

Paso 9

Resuelve $y$

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Paso 9.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 y^{2} - 32 y + 64 = 4 y + 64$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 32 y + 64 - 4 y = 64$

Paso 9.2.2

Resta $4 y$ de $- 32 y$ .

$4 y^{2} - 36 y + 64 = 64$

Paso 9.3

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 36 y + 64 - 64 = 0$

Paso 9.4

Combina los términos opuestos en $4 y^{2} - 36 y + 64 - 64$ .

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Paso 9.4.1

Resta $64$ de $64$ .

$4 y^{2} - 36 y + 0 = 0$

Paso 9.4.2

Suma $4 y^{2} - 36 y$ y $0$ .

$4 y^{2} - 36 y = 0$

Paso 9.5

Factoriza $4 y$ de $4 y^{2} - 36 y$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $4 y$ de $4 y^{2}$ .

$4 y (y) - 36 y = 0$

Paso 9.5.2

Factoriza $4 y$ de $- 36 y$ .

$4 y (y) + 4 y (- 9) = 0$

Paso 9.5.3

Factoriza $4 y$ de $4 y (y) + 4 y (- 9)$ .

$4 y (y - 9) = 0$

Paso 9.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 9 = 0$

Paso 9.7

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

Paso 9.8

Establece $y - 9$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 9.8.1

Establece $y - 9$ igual a $0$ .

$y - 9 = 0$

Paso 9.8.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 9$

Paso 9.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 y (y - 9) = 0$ verdadera.

$y = 0, 9$

Paso 10

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$ sea verdadera.

$y = 9$